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数学行云流水的思维是如何养成的?数学训练方法?

德育天地 | 2020-03-08 | 标签:数学,行云流水,的,思维,是,如何,养成,训练,
家长经常问:为什么孩子思考那么慢,做题也慢,要想好久;计算也慢,练了半年也不见效。

这个问题其实我过去也谈到过不少了,尤其关于计算训练,下文应该是关心的家长必看的:


[小问题专栏]小威尼斯4058com如何进行计算训练?注意是训练,不是刷题!



今日再谈,我想换一种方式来谈。下面所引用的部分并不代表我的信仰,或是意味着与我的教学有关,大家可以把它看成,只是一种写作方式而已。想换个角度来谈这个问题,恰好脑袋里就冒出这些句子了,搬过来用一用罢了。换不同的方式说,可能有助于不同读者去理解同一个问题。



1

首先,要摆在最开头讲的,一个孩子做题很慢,无论是应用题还是计算题,我们可以猜测到的第一种可能就是:孩子还没有掌握正确的方法。这里有两件事我们要讲清楚:

第一、怎样算慢?我认为用口算一分钟几道题去评估,其实并不准确,也无依据,尽管对我来讲,一个二年级孩子,要达到20以内加减法表达的地步是合理的,只是个体依然有差异,就算达不到也不见得这个孩子数学能力差。所以“慢不慢”,可以通过观察孩子作业和做卷子的速度,是否能够达到正常完成的程度,如果孩子考试完全来得及,那么当前你感觉的“慢”只不过是不够快而已,如果连考试都无法完成,那么说明是真的“慢”得有问题了。

第二、怎样算正确的方法?要知道一个人在学习新鲜事物的过程中,总是从不正确到正确的,没有人一上来就正确,研究也好,一个人的认识也好,都有一个逐步深入进化的过程。所以,要说绝对正确的方法,其实并没有,比如一个一年级孩子在用掰手指的方法计算,你说他不对吗?如果我们了解一下他的学习启蒙过程,发现他早期缺乏相关经验,那么当前他掰手指对他来讲就是再正确不过的方法了,正确与否要看孩子当前的阶段和思维水平。


那么如果根据以上说明,你最终判断下来,的确孩子很慢,需要干预,那么接下来,你就需要记住这句话:



迷时师度,悟了自度。——六祖大师。



当孩子还没有理解原理,掌握窍门时,他们非常需要有“师父”的教导带领。学校老师是孩子的师父,但有时候不够,因为毕竟学校老师只能顾全大局,难以一一进行指导,所以家长此时就变成第二个师父,引导孩子度过当前难关。


要理解这里的目的是让孩子察觉数学的原理,规律,从而达到“悟”了的地步,所以你的“教”,不应该只是甩题目给孩子做,而是应该拆开来去引导孩子思考,只有通过看上去“慢”的引导,才能逐步把孩子的思维理顺,让他察觉到有用的模式规律,从而可以应用。


到了孩子能够自己明白用什么策略有效时,后面你就可以交给孩子自己去练习了。也只有已经悟到的孩子,才能通过自我训练达到提高自身的目的。


数学,重点不是教“方法”,而是训练孩子的思考方式

比如上面这篇文章中谈到的“数线段”的例子,就是一个很好的例子,不要一上来就直接把正确的解决办法全盘托出,应该引导孩子循着一根线索去观察,比较,总结,这个过程是你在引导孩子“开悟”的过程。

一旦孩子掌握了这道题目的精髓——规律,恍然大悟是这么回事,你就可以让孩子依据自己找到的规律去进行一些练习。


2

紧接着,要来谈的第二个层次的问题是,很多家长又会说,“可是明明之前已经理解了,为什么后面还是不会应用呢?”或者有些家长认为孩子始终不会自己思考问题。


那么我们就要从下面这句话说起:

“修者以律制心,觉者以心制律”


从佛家的角度去解释,就是修行的人,需要通过一些规则来行事,约束自己的内心;而觉悟的人,则是内心自然生发出规则来,知道什么事情可以做,什么事情不可以做,也因此可以达到行云流水的境界。



让我们把这里面的深意迁移一下来理解:



当你教一个孩子熟悉一种思维方式的时候,你需要用一些规则来约束TA散漫的思想,通过一些练习达到思想贯通的地步,作为引导的“师父”,你需要一个层次一个层次来引导孩子,以便于理解不同情景下不同的规则,如果某一天,你发现孩子可以自己选择合适的策略来具体问题具体分析,那么说明孩子“悟”了,因为他已经掌握了“以心制律”。


让我以下面这道减法退位题来说明孩子“修”与“悟”的过程:



26-19=7



第一个阶段:孩子先使用了对位拆分来解决问题

26-19
=20+6-10-6-3
=10+6-6-3
=10-3
=7

第二个阶段:让孩子反思前面的思考策略,优化精简步骤

26-19
=26-16-3
=10-3
=7

第三个阶段:思考和练习别的策略,比如:

26-19
=26-20+1
=6+1
=7

第四个阶段:比较不同策略,选出最优策略,放在内心思考

26-19=7

第五个阶段:熟悉所有的两位数退位减法策略,以及通过练习达到两个目的:策略灵活,可以口算。

第六个阶段:三位数有退位减法,再次应用对位拆分,以及已经熟悉的两位数退位减法,把两者结合起来进行计算。

326-119
=300-100+26-19
=200+7
=207

第七个阶段:能够在混合运算中,根据数量关系,使用恰当的策略,或者已经非常熟悉的口算来综合解决计算题。


现在让我们针对上面七个阶段来做一个很重要的补充说明:



第一、以上只是用一道题来举例,真实训练过程,肯定包含了练习不同的题,比如每个阶段,你可能都需要每天练习5-10题。

第二、整个过程中,你会发现是一个“修行”与“开悟”交替的过程,也就是说实际上没有什么终极的“开悟”,都只不过是阶段性“悟到”而已,比如第一阶段到第二阶段,孩子其实需要解决的是,数结构上的层次,通过递等式规则一个个拆分后,再反思来精简这个运算步骤,可以达到直接运算26-16的程度,这个过程需要孩子的“悟”。对于一部分孩子来讲,可能很快可以悟到,可一部分孩子需要经过一些规则的训练,才能悟到,这是很正常的事。

第三、每一次升级都是以前一阶段的“悟”为基础的,如果一个孩子要掌握三位数退位减法,那么二位数自然要达到能够口算的程度,否则一个个拆分开,或者运用竖式计算的过程,会是一个容易出错以及增加思考负担的过程。只有一个孩子在两位数运算上达到很熟练的程度,那么自然可以把三位数运算过程也精简到两步就给出答案的程度。

第四、逻辑的基础训练能够达到单纯刷题列竖式计算无法达到的高度,这会体现在高年级混合运算,尤其是有小数,以后还有分数的四则混合运算中。到了中学,你更不可能依靠竖式,因为已经都变成代数运算了,更需要的是深刻理解四则运算的运算逻辑,而不是竖式运算的步骤。

第五、让我给你总结一下,就计算训练来讲,你需要很有层次地进行训练,在教孩子策略的时,尽可能细致,在该训练技能的时候就要放手训练;你既需要阶段性来提点孩子策略的精简,提供新的思考方法,也需要让孩子有目标感,当前的策略训练要达到什么程度,是孩子内心应该清楚的。

所谓“修者以律制心,觉者以心制律”,规则或策略孩子要一项一项的学习,以规范自己的思维方式,越来越有序,理解上述训练的内涵,你能明白只有通过有序地训练,才能让孩子最终变成“觉者”,从而达到“以心制律”的程度,由于已经对各种策略各种情景都熟悉了,心中有了体悟,通过你经常性引导孩子思考“为什么”“怎么样”,他们逐步能够发展到判断什么时候该用什么策略解决问题的阶段,那么此后在解决复杂问题的过程中,才更能体现综合运用能力——也就是行云流水。

3

从以上例子你或许能理解,儿童学习数学的过程,要效率高,而且对数学思维提升有效,很讲求阶段性目标,并且可能是以相对高的频率在调整要求的,比如以计算为例:可能你2-3天就应该改变一下要求,来不断聚焦孩子的思维,精炼孩子的思维方式,这样孩子也能感觉到自己不断在进步,进而越来越 有信心,也更愿意挑战你提出的更高难度的要求。



然而实际上,孩子的逻辑的发展并不会以这么快的速度前进,如果我们仅仅以计算为例来说明数学训练是片面的。我一向认为计算是一件很容易提高的事,基本上要以“短期局部强化”的方式来进行突击,它并不适合天天在哪里磨,很容易引起孩子厌烦,这样才会有训练了半年,两位数运算都没有提高的问题出现。



但是,逻辑上的认识理解则不是那么快的事,所以我要特别分出来单独来讲这件事。



以我昨日文章为例,在一个交流群里有一些交流讨论,主要集中在,“互补关系”是一个持续发展的过程,因此,并不是从某个时间点切入就是最佳的,而是需要在符合儿童认知规律的基础上,在不同时期给予不同层次水平的引导,才能较好地推动孩子思维发展。


今天我把昨日群内讨论的部分,具体展开细分一下,相关研究其实分布在80年代甚至更早的国外研究成果上,下面的层次划分则是参考中国科学院心理所早期的研究结果(刘静和等人《儿童在数及数学上对部分与整体关系认识的发展》心理学报)。


以昨日强调的整体部分“此消彼长”的底层逻辑来对应分层。


第一层次:单纯理解数量关系,比如:整体由若干部分构成,部分又可以构成整体;整体大于任何一个部分;任何一个部分小于整体。


这个层次下包含的三个领域的逻辑发展年龄——
图形几何方面:5-6.5岁(跃进时期大部分在:5-5.5岁)
正整数:4.5-7岁(跃进时期大部分在:5-5.5岁)
分数:5-10岁(跃进时期大部分在:7-8岁)


第二层次:能够理解包含关系,比如:整体包含部分,部分来自整体,部分位置变化不影响整体。


这个层次下包含的三个领域的逻辑发展年龄:
图形几何方面:5-6.5岁(跃进时期大部分在:5-6岁)
正整数:4.5-8岁(跃进时期大部分在:6.5-7岁)
分数:6.5-9岁(跃进时期大部分在:7.5-8岁)


第三层次:互补可逆的关系,比如:整体分成两个部分时,部分之间存在着消长增减的关系: A=(a-N)+(b+N);一部分是另一个部分的“补”,并存在可逆关系: a=A-b, b=A-a;整体是一个大的集合,其每个部分都可以再看做一个集合: A={a,b,c,d,e,f,g,h}={a,b}+{c,d}+{e,f}+{g,h}。



这个层次下包含的三个领域的逻辑发展年龄:
图形几何方面:5-10岁(跃进时期大部分在:6-6.5岁)
正整数:6-9岁(跃进时期大部分在:6.5-7岁)
分数:7-10岁(跃进时期大部分在:7-8岁)


第四层次:补偿关系,比如:当整体分成相等部分时,部分数与每部分中的单元数是相反方向消长的关系: A=N*a=M*b,若N>M,则a<b,若N<M,则a>b。



这个层次下包含的三个领域的逻辑发展年龄:
图形几何方面:7.5-11岁(跃进时期大部分在:10-11岁)
正整数:7-8岁
分数:8-10岁(跃进时期大部分在:8-9岁)


实际上逻辑的渐进性发展,如何科学合理地分布,应该是教育部门的事,作为普通家长来讲,其实没有能力去划分不同阶段应该给予什么样的逻辑发展的指导。

但是非常非常非常遗憾地是,这些研究成果都没有被应用到我们都教材中,实际上我们的教材在逻辑的引导上几乎一片空白,大家只要稍稍研究一下教材,就能发现,计算才是教材的核心。

缺失了这样一件系统工程,要培养好孩子的数学思维,真的是一件任重道远的事,恐怕只有依靠优秀的教师,或者勤奋卖力的家长才能做到了。



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