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数学学习中两个相当重要的心理发生机制:压缩与自动化

德育天地 | 2020-03-08 | 标签:数学,学习,中,两个,相当,重要的,心理,发生,
由于很多读者(尤其是新读者)觉得阅读我的文章有困难,所以我打算在今年把一些常见的术语名词,都单独写好一篇篇文章,方便大家查阅参考。


这些术语一方面可以帮助家长或者教师理解数学教学辅导中的一些原则是从哪里来的,另一方面也能让你更深地理解为什么要采取某些特定的方式(顺序)去教孩子。

实际上这些术语名词背后,不仅仅是科学研究的成果,更是许许多多“精通者”经验的积累,因此是非常有学习价值的内容。




概念压缩



首先让我们来学习一下“压缩”这个词的意思,当然从这个词的字面意思上来讲,是很有画面感的,无论成人还是小威尼斯4058com都可以想象得到,压缩指的是把一个相对“巨大”的事物放到一个相对“小”的空间里,就好像把一大块海绵塞入一个卫生纸筒中一样,把一块毛巾压缩到一颗药片大小。



这里我们讲到“概念压缩”指的就是一个类似的过程。



“数学在人的大脑中有极强的可压缩性:当你学习一个新的数学概念时,你也许需要一点一点地弄懂它,也许需要从多个角度去理解它,你的思维也许会挣扎一阵子。一旦你真的弄懂了它,并且可以在你的头脑中形成一个完整的构建,那么压缩过程也就完成了。一旦压缩完成,你就可以把它储存在大脑的一个小空间中,在你需要时你可以快速完整地调用它。数学的这个属性也正是学习数学最 愉悦的事情之一。”

——顶级数学家、
菲尔兹奖获得者威廉·瑟斯顿
(William Thurston)

你肯定有这样的体会,花了很久,走过了一条曲折的道路,终于把一个概念弄清楚了,某一刻,你象是顿悟了一般,一下子明白了前因后果,头脑一下子清明了许多,那些繁冗的过程也消失了,留在你头脑中的就是“通透”这个词,接下去,你会发现再去解答一些题目的时候,变得非常简单,毫不费力。



这就是你的头脑发生了“概念压缩”的这个过程,由于你已经完成了对这个概念深入而全面的理解性学习,因此大脑认同它为自己知识体系的一部分,进而进行了某种信息的“折叠压缩”,俗话说:内化了。



一旦完成压缩的过程,信息在头脑中储存的方式就变得简单易提取,因为它不再是一些零散的知识,而是紧密关联打包储存的。



且看下面这幅图:

选自《这才是数学》(教师篇)——乔·博勒



她解释到紫色的箭头表示方法,粉色的框代表概念。也就是说这张图告诉你通过概念获取理解的路径,毫无疑问,从各方面讲,人们都同意儿童要获得数字概念是必须通过数数这条路径的。然而就是如此简单的第一步,很多孩子都没有机会做,我在过去曾经多次提及,数数这件事是需要花费很长很长时间的,可能是1-2年,甚至2-3年,但很多孩子显然没有经历那么长时间数数,就接着被教授了如何加减运算,以及乘除运算。



和的概念是怎样获得的呢?是通过“接着数”的方式,积的概念是通过“多个相同数字相加”的方式。大家要理解,这种方式,是概念获取的路径,是一种训练方式,而不是某种技能。



人们通常有一个误区:认为数学学习过程中的任何行为都是一种标准。因此一旦觉得孩子可以做到,就立即进行下一步,或者认为既然下一步都会了,又何必多此一举,去做前面一步。






因此人们固执地认为乘法只需要背诵口诀表就可以了,不需要进行相同数字相加的环节,孩子已经能够心算加减法结果了,何须经历数数的过程。



“其实这(接着数)不是加法的计算方法,而是一种概念。在下一步的数学学习中,威尼斯4058com们会学习如何计算多个相同的数相加,比如三个4相加,在这个过程中,他们会形成乘法的概念。所以,再一次声明,多个相同的数相加不是计算乘法的方法,而是乘法的概念。数、和与积是数学中的概念,威尼斯4058com需要对这些概念进行深入的思考。

威尼斯4058com应该学习数学方法,比如加法与乘法的计算方法,但学习方法不是最终目的,最终目的是通过方法的学习帮威尼斯4058com更深入地理解数、和、积的概念以及它们之间的相互关系。”

——乔·博勒《这才是数学》(教师篇)


请大家耐心看完上述两段文字,然后让我们回到具体情境中去理解:为什么乘法的概念如此重要呢?会背乘法口诀表为什么远远不够呢?



有家长问我如何让孩子理解“倍数”,倍数关系是乘法四种情景关系之一,“一对多”的对应关系,昨天我在答疑时遇到一个家长提问,为什么孩子不知道6是1的几倍,有关于整数范围内的几倍几倍的问题,我们可以通过乘法概念让孩子获得,比如1*2=2,可以看成1+1=2,也就是两个1相加等于2,就相当于乘2,同时定义2就是1的2倍。因此我们可以同理,6由几个1组成呢?1+1+1+1+1+1=6,6个1相加等于6,因此6就是1的6倍,用乘法就是1*6=6。



再来看我之前举例过的一道三阶段入门测试题,请看下图:



很多孩子写出了A+12=2B,但是没有继续往下拆分到乘法概念的底层:



A+12=B+B



一旦完成概念的分解,这道题就迎刃而解,A如果要大于B,那么B就要大于12,因此最小就是13。



儿童如果有过深入学习概念的过程,那么他们就能获取对概念全方位的理解,并且完成这个压缩过程,一旦压缩完成了,此时儿童无论在解答题目,还是在学习新知识时,就能腾出更多“能量”来完成其他方面的思考。



这个道理很简单,不仅仅在数学学习的领域,它广泛存在于人类学习任何新知识技能的领域。基于这样的理由,我在这个月里连续写了几篇文章来吐槽我们目前的教科书以及教学方式——同一时间里,让儿童并行学习多种概念和技能,不给孩子时间来积累操作经验,完全以刷题的方式在学习。教科书对于概念的拆分不足够细,以至于儿童对概念囫囵吞枣,未能完全理解的,也就不能完成有效的压缩,所以在他们继续学习后面更深的知识内容时,就会出现卡壳的现象。他们概念都没有理解完全,但是练习却做到很深,因此他们无法完成提取概念生成策略的过程,那么怎么应付学业呢?人类大脑自动调整了思维方式,采取强行记忆的方式,来完成学习任务。

这一现象可以说广泛普遍深深烙印在我们的教育体制中,假如我们给予儿童更多学习数学的时间,不要盲目推进进度,其实大部分孩子都能学好数学。






但是话说回来,国家会这么做么?要知道一旦人人都能学好数学,那么高等学府,教师,相应的设备人力的投入就不是现在这点,那可能是几倍的增长,这是完全不可能承受的,也因此,这里我再次回答了之前有些人提出的“筛选机制”问题,国家必须要有筛选机制,通过加快进度提高容量的方法,可以更快筛选出那些的确智力突出的孩子,因为他们信息加工的速度更快,能够在“时间窗口”关闭之前就掌握完成概念的压缩过程,而大部分孩子将会被甩在“窗外”。



回过头,我想说的是,有心的家长或许可以给孩子争取到一些时间,通过家庭的补充,来帮助孩子完成概念压缩的这一过程,当然这是一个很艰辛的过程,正如前面著名数学家威廉·瑟斯顿所说,你必定要经历一个思维挣扎的过程,这个过程并不是每个人都能够平稳度过的,很多人都会在这一次挣扎或下一次挣扎中放弃,所以势必会导致某些概念的不能通达,也就这样潦潦草草,跌跌撞撞继续前进。能够很好完成修补工作的人(或者不如说家庭)是少数,这是一场与时间赛跑的脑力竞赛,只有少数人能完成。






自动化加工



如果说第一个心理发生机制让你有些畏难,甚至心灰意冷(觉得自己没有能力帮助孩子完成概念压缩),那么第二点的难度其实没有那么大,需要的只是一点“细心”。



信息加工理论的代表,大家可以去看看西格勒的理论,之前我推荐过他的《儿童思维发展》,不过也只有极少数人可以啃下来,也不一定能完全理解,除非你是心理学相关专业的。



这里简单讲一下信息加工,西格勒在谈思维的时候,其实谈的就是信息加工,儿童学习的过程就是处理信息,进行编码加工储存提取的过程。而“自动化加工”就是其中一种机制,指不需要通过很大努力就能完成信息的加工,换句话说就是完成思维的某种高级认知过程,比如完成一个动作,解答题目,解决问题等。



西格勒很明确表示过,要达到自动化加工等程度是需要积累经验的,也就是人们说的“熟能生巧”。我在下面这篇文章中其实提到了这一过程:



行云流水的思维是如何养成的?



你要达到行云流水,首先要经历自律修炼的过程,如果一个高年级孩子要胜任大数运算,那么他至少要熟练百位以内运算;如果一个中低年级孩子要熟练进行百位以内运算,那么TA更需要熟练个位数运算。这是环环相扣的。



所以有家长问我,孩子如果个位数运算还出错,可以进行大数运算吗?我的回答就是不可以,尽管你必须以及不得不完成学校的学业,但是除了完成作业以外,你还需要额外让孩子练习(或者不如说补习)个位数运算。



再比如进行小数运算,毫无疑问应该先熟悉整数四则运算法则,然后就是平移过去的,比如象运算0.137+1.863,应该要达到可以口算的程度,因为看到37的63,头脑中就应该浮现出100,这是一个自动化加工的过程。



自动化加工可以让人节省出足够的“心智能量”来完成对其他较复杂信息的加工,比如这里小数点位值原理,如何进位到2。



但是其实要完成这一自动化加工的过程,还需要对小数概念有完全的理解,才能瞬间完成137+863的计算,再返回到小数中去。因为孩子已经理解了小数到整数,整数到小数扩缩过程的理解了。



我开头说的第二点需要一点“细心”的意思就是,在辅导孩子的过程中不能盲目推进进度,而要有计划地安排训练过程,密集式的强化与分布式的长期训练要相辅相成,不要粗心地放过细节,盲从大潮流,罔顾孩子本身的发展路线,是极其错误的方式。






除了计算,在解决应用题方面,也同样包含前面两个心理发生机制:对概念的压缩,以及自动化加工过程。很多人对于补偿原则,盈亏问题总是不能很好解决,那么最好的办法就是先把乘法补偿原则的概念搞清楚,然后一道一道题目地依据方法画图去理解,把每一题每一个细节为什么要这样做搞得清清楚楚,通过反复画图可以最终达到自动化加工的过程,这个过程会在你看到信息,读懂信息后自动在头脑中加工,你可以很轻易地用语言逻辑来解释解题过程,而不必再依赖于画图了。



下面这个辅导实录中体现出来的依然是概念逻辑上的环环相扣,是达到精通熟练的前提。


【班级辅导实录】从盈亏问题谈基础:奥数题只不过是基础的拓展而已


但是正因为人类大脑有自动化加工这一机制,因此有些钻空子的做法就变成一种风气,因为“熟能生巧”,所以很多人觉得通过大量刷题就可以达到目的,何须费力去理解概念。



但是大量刷题,缺乏对概念,底层逻辑的理解和训练,就会出现——


“那些不进行概念思考、只死记硬背公式的威尼斯4058com无法经历大脑压缩这一关键过程,所以他们的大脑无法讲知识有效地组织储存,结果导致他们只能依赖计算方法与公式。这就是为什么要让威尼斯4058com在学习数学的过程中一定要理解概念。概念式的学习方式是数学式思维的本质。”

——乔·博勒《这才是数学》(教师篇)

“威尼斯4058com会勤奋地跟随老师的指令去记忆算式,或反复地完成一系列任务,并可能得到正确的答案。但是如果他们在这段学习结束前没能获取意义,这些信息就几乎不会进入长期存储。数学教师经常会因此而感觉受到打击。来时可能看到威尼斯4058com们在某天能使用某个公式去解决问题,但第二天就不记得应该怎么做了。如果一个过程没有被储存,那么大脑重新处理这些信息时,就会像对待全新的知识一样。”

——戴维·苏泽《人脑如何学数学》


所以,最后我要强调一句,所谓“熟练”,并不是操作上的熟练,这会让大脑很快忘记,一旦停止操练,就会逐渐遗忘,很多成人把小威尼斯4058com数学都忘得精光了,就是最好的证明。


“熟练”,是指概念上的通透,已经被压缩储存;某些信息能够达到自动化加工的程度,很容易提取大脑中的知识,毫不费力完成处理加工。


有了“熟练”这个前提,人才能不断学习新知识新技能,大脑不断在进行变化加工处理压缩储存等一系列过程,因此会预留出足够的空间,保存足够的“心智能量”来加工新的知识,完成新的压缩过程。



没有掌握或者说顺应这一学习机制的大脑,就会处于低效的运作模式中,头脑中不断堆积无意义的东西,只有依靠不断刷新记忆的方式学习,就会十分费力,随着知识难度越来越高,自然没有更多的心智能量来完成更高阶的学习。



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